Questão FC99683
Uma população é constituída por . No momento inicial, , do desenvolvimento de certo estudo, um indivíduo dessa população é selecionado por meio de amostragem aleatória simples; ele
Principais Distribuições Discretas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
. No momento inicial, 
, do desenvolvimento de certo estudo, um indivíduo dessa população é selecionado por meio de amostragem aleatória simples; ele é marcado e imediatamente devolvido à população. Em outro momento posterior, 
, novamente seleciona-se um indivíduo da mesma população por meio de amostragem aleatória simples. Caso esse indivíduo selecionado seja aquele que havia sido marcado inicialmente, então se encerra o processo de amostragem; se o indivíduo selecionado não for o que se encontra marcado, ele é devolvido à população e uma nova tentativa é feita em momento posterior, 
. Repete-se esse processo de amostragem até que seja encontrado o mesmo indivíduo que foi marcado e solto no instante inicial 
. Nesse estudo, 
é uma variável aleatória que representa o número de tentativas até se encontrar o indivíduo marcado no instante inicial, de modo que sua distribuição de probabilidade é dada por 
, na qual 
são probabilidades que permanecem constantes ao longo do K = 1,2,3,⋯, p+q = 1.experimento aleatório, tal que, para
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o próximo item.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: O enunciado apresenta uma situação em que estamos lidando com uma variável aleatória que segue uma distribuição geométrica. Essa distribuição é muito interessante, pois nos fornece a probabilidade de que o primeiro sucesso aconteça na k-ésima tentativa. A função probabilística para essa variável é expressa como \( P(X=k) = p \cdot q^{k-1} \), onde \( p \) representa a probabilidade de sucesso e \( q \) é a probabilidade de fracasso, sendo que a soma dessas duas probabilidades é sempre igual a 1, ou seja, \( p + q = 1 \).
Quando analisamos a afirmação \( P(Y \leq 10) \), podemos reescrevê-la utilizando o conceito de probabilidade complementar: \( P(Y \leq 10) = 1 - P(Y > 10) \). Aqui, \( P(Y > 10) \) retrata a probabilidade de que sejam necessárias mais de 10 tentativas para alcançar o primeiro sucesso. Essa condição nos leva à equação \( P(Y > 10) = q^{10} \). Portanto, substituindo na expressão original, temos \( P(Y \leq 10) = 1 - q^{10} \), corroborando a afirmação apresentada.
Podemos ainda chegar ao mesmo resultado construindo a soma das probabilidades \( P(Y \leq 10) = P(Y=1) + P(Y=2) + \ldots + P(Y=10) \), onde a soma se alinha com o raciocínio sobre \( p \) e \( q \). Com essas análises, fica claro por que a resposta está correta e valida a afirmação feita na questão.
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