Questão FC99686
Considerando que X1,X2,... Xn seja uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, tais que em que e , julgue o item a seguir. Se , então
Principais Distribuições Discretas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
em que 
e 
, julgue o item a seguir.Se
, então 
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Nesta questão, estamos lidando com uma sequência de variáveis aleatórias que são independentes e identicamente distribuídas. A distribuição em questão é a distribuição geométrica, onde a probabilidade de sucesso em uma tentativa é dada por \( p \) e a probabilidade de falha por \( (1-p) \). Para calcular \( P(X_{(1)} \leq x) \), que é a função cumulativa do menor valor da amostra, utilizamos a complementaridade da probabilidade. Assim, temos:
\[ P(X_{(1)} \leq x) = 1 - P(X_{(1)} \geq x) \]
A probabilidade do menor valor ser maior ou igual a \( x \) implica que todos os valores da amostra também devem ser maiores ou iguais a \( x \). Como as variáveis são independentes, essa probabilidade pode ser expressa como:
\[ P(X_{(1)} \geq x) = \prod_{k=1}^{n} P(X_k \geq x) = [P(X \geq x)]^n \]
Utilizando a relação complementar novamente, transformamos isso em:
\[ P(X \geq x) = 1 - P(X \leq x) \]
Chegamos, então, a:
\[ P(X_{(1)} \leq x) = 1 - (1 - P(X \leq x))^n \]
Calculando \( P(X \leq x) \), obtemos a soma dos primeiros \( x \) termos de uma progressão geométrica. O resultado dessa soma é:
\[ P(X \leq x) = 1 - (1 - p)^{x+1} \]
Substituindo na expressão anterior, confirmamos que a combinação final é:
\[ P(X_{(1)} \leq x) = 1 - [(1 - p)^{x+1}]^n \]
Portanto, a afirmativa de que se \( X \) segue a distribuição geométrica, então \( P(X_{(1)} \leq x) = 1 - [(1 - p)^{x+1}]^n \) é CERTA.
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