Questão FC99691
Considerando ϕ−1(0,95) = 1,65 e ϕ−1(0,975) = 1,96, julgue o item a seguir, relativo à inferência estatística. Suponha que X1, X2,⋯,X144 seja uma amostra aleatória cuja distribuição
Intervalos de Confiança
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Suponha que X1, X2,⋯,X144 seja uma amostra aleatória cuja distribuição tem variância Var(Xi) = 18, para i = 1, ..., 144. Nesse caso, se a média amostral das observações for \( \bar{X} \) = 55, então um intervalo de confiança aproximado com nível de confiança de 95% para a média θ = EXi será [52, 525; 57, 475].
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão com cuidado! O item apresenta um intervalo de confiança para a média, mas a informação fornecida está incorreta. Para calcular o intervalo de confiança com base na média amostral \(\bar{X} = 55\), dado que a variância populacional é conhecida e igual a 18, precisamos primeiro entender a forma correta de construir esse intervalo.
A fórmula que utilizamos é: IC = \bar{X} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, onde \(z\) é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
Aqui, temos um tamanho de amostra \(n = 144\), o que é suficiente para utilizar a distribuição normal. O valor de \(z\) para um intervalo de confiança de 95% é \(1,96\) (referido implicitamente como \( \varphi^{-1}(0,975) \)). Portanto, devemos usar este valor em nosso cálculo.
Substituindo os valores, encontramos:
IC = 55 \pm 1,96 \cdot \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{144}}, que simplifica para:
IC = 55 \pm 1,96 \cdot \frac{\sqrt{18}}{12}. Ao calcular \(\frac{\sqrt{18}}{12} \approx 0,433\), temos:
IC = 55 \pm 1,96 \cdot 0,433 \approx 55 \pm 0,849, resultando em um intervalo de aproximadamente:
[54,151; 55,849].
Portanto, a faixa apresentada na questão [52,525; 57,475] não é correta, o que confirma que a afirmação é ERRADA.
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