Questão FC99714
Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli X1 ∼ Ber (θ), sendo P(Xi = 1) = θ e P(Xi = 1) = 1 - θ. Uma amostr
Intervalos de Confiança
. A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:- θ = 0,5 θ na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para θ ao nível de confiança 0,95;
na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para θ ao nível de confiança 0,95; - uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.
P(S ≤ 1) = 0,011 P(S ≤ 2) = 0,055 P(S ≤ 7) = 0,945 e P(S ≤ 8) = 0,989 e para θ = 0,7 P(S > 7) = 0,83 ; e P(S > 8) = 0,149 , jugue o item a seguir.
Sob a hipótese nula de θ = 0,5, contra a hipótese alternativa de θ > 0,5, o correspondente intervalo de confiança unilateral ao nível de confiança de 94,5% é
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Vamos analisar a questão proposta:
Estamos lidando com uma amostra de variáveis aleatórias que seguem uma distribuição de Bernoulli, onde temos duas possibilidades de resultado: sucesso (1) com probabilidade \( \theta \) e insucesso (0) com probabilidade \( 1 - \theta \). O número de sucessos em uma amostra de tamanho \( n \) é descrito pela variável \( S = \sum_{i=1}^{n} X_i \), que possui distribuição binomial \( B(n, \theta) \). O estimador de máxima verossimilhança para \( \theta \) é \( \theta_{MV} = \frac{S}{n} \).
Em relação ao intervalo de confiança unilateral, estamos considerando a hipótese nula \( H_0: \theta = 0,5 \) e a alternativa \( H_1: \theta > 0,5 \). Para construirmos um intervalo de confiança unilateral ao nível de 94,5%, precisamos identificar o valor crítico que corresponde à área de 0,945 da distribuição binomial quando \( \theta = 0,5 \).
Segundo as informações fornecidas, sabemos que \( P(S \leq 7) = 0,945 \); portanto, o valor máximo de \( S \) que garantirá 94,5% de confiança para \( \theta = 0,5 \) é 7. Dessa forma, o limite superior do intervalo de confiança para \( \theta \) seria \( \frac{7}{n} \).
Agora, a alternativa apresentada afirma que o intervalo de confiança é \( \{ \theta; \frac{S + 2}{n} \} \). Contudo, este formato está incorreto, pois a expressão proposta não é a forma adequada de calcular o valor que limita o parâmetro \( \theta \). O que devemos utilizar é o limite superior correspondente ao valor de \( S \), que, conforme já discutido, é apenas \( \frac{7}{n} \). Portanto, a afirmação original é, de fato, ERRADA, pois não condiz com a metodologia correta de construção do intervalo de confiança unilateral aplicando as propriedades da distribuição binomial sob a hipótese específica apresentada.
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