Questão FC99723
Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli X1 ∼ Ber (θ), sendo P(Xi = 1) = θ e P(Xi = 1) = 1 - θ. Uma amostr
Intervalos de Confiança
. A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:- θ = 0,5 na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para θ ao nível de confiança 0,95;
na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para θ ao nível de confiança 0,95; - uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.
P(S ≤ 1) = 0,011 P(S ≤ 2) = 0,055 P(S ≤ 7) = 0,945 e P(S ≤ 8) = 0,989 e para θ = 0,7 P(S > 7) = 0,83 ; e P(S > 8) = 0,149 , jugue o item a seguir.
Se o verdadeiro valor do parâmetro populacional θ é igual a 0,5, em m amostras aleatórias de tamanho n com m →∞, a fração de vezes em que o intervalo de confiança do analista B conterá 0,5 será maior ou igual a 0,95.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O analista B aplica o estimador de máxima verossimilhança \( \theta_{MV} = \frac{S}{n} \) para formar um intervalo de confiança de 95% sobre \( \theta \). Contudo, o problema em sua abordagem é que ele se baseia na distribuição da soma \( S \) para determinar o intervalo, sem considerar que a distribuição de \( S \) varia conforme o verdadeiro valor de \( \theta \). Isso significa que o intervalo de confiança não é universalmente válido para toda a gama de \( \theta \) possíveis, especialmente para valores como \( \theta = 0,5 \). As probabilidades dadas para \( \theta = 0,5 \) indicam que, nas amostras, a cobertura do intervalo pode ser significativamente diferente de 95%, já que o método não leva em conta a forma robusta da distribuição binomial resultante. Assim, a afirmação de que a fração de intervalos que incluirá \( \theta = 0,5 \) será maior ou igual a 0,95 é, portanto, infundada, resultando em uma conclusão errada quanto à eficácia do intervalo construído por B. Em resumo, o abuso da distribuição amostral de \( S \) para definir a cobertura de \( \theta \) torna sua afirmação indevida.
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