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Questão FC99730

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli X1 ∼ Ber (θ), sendo P(Xi = 1) = θ e P(Xi = 1) = 1 - θ. Uma amostr

Testes de Hipóteses

CEBRASPE (CESPE)

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli X1 ∼ Ber (θ), sendo P(Xi = 1) = θ e P(Xi = 1) = 1 - θ. Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para θ é a binomial (n,θ), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para θ é θMV = . A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:
  • θ = 0,5 na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para θ ao nível de confiança 0,95; 
  •  na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para θ ao nível de confiança 0,95; 
  • uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.
A partir dessas informações, e considerando que para θ = 0,5:

P(S ≤ 1) = 0,011 P(S ≤ 2) = 0,055 P(S ≤ 7) = 0,945 e P(S ≤ 8) = 0,989 e para θ = 0,7 P(S > 7) = 0,83 ; e P(S > 8) = 0,149 , jugue o item a seguir.

Sob a hipótese nula de θ = 0,5 contra a hipótese alternativa de θ = 0,7, se a região crítica for S > 7, então o poder do teste será igual a 0,383.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: Para entender a afirmação de que a resposta está CERTA, é importante primeiro recordar o conceito de poder do teste, que se refere à probabilidade de rejeitar a hipótese nula \( H_0 \) quando a hipótese alternativa \( H_1 \) é verdadeira. Em nosso caso, estamos testando as hipóteses \( H_0: \theta = 0,5 \) contra \( H_1: \theta = 0,7 \). A região crítica do teste foi definida como \( S > 7 \), que nos informa que, se a soma \( S \) das variáveis aleatórias exceder 7, rejeitaremos a hipótese nula. Para calcular o poder do teste, precisamos determinar a probabilidade de que \( S > 7 \) dado que \( \theta = 0,7 \) é verdadeira. Segundo as informações fornecidas, temos que \( P(S > 7 \mid \theta = 0,7) = 0,383 \). Assim, esta probabilidade representa exatamente o poder do teste, confirmando que a afirmação sobre o poder do teste ser igual a 0,383 está correta. Portanto, a conclusão de que a resposta é CERTA se sustenta na formulação clara da hipótese e na correta interpretação dos valores de probabilidade.

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