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Questão FC99731

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli X1 ∼ Ber (θ), sendo P(Xi = 1) = θ e P(Xi = 1) = 1 - θ. Uma amostr

Testes de Hipóteses

CEBRASPE (CESPE)

Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição de Bernoulli X1 ∼ Ber (θ), sendo P(Xi = 1) = θ e P(Xi = 1) = 1 - θ. Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população. A distribuição amostral da estatística suficiente, S, para θ é a binomial (n,θ), e S é a soma de X na amostra. O estimador de máxima verossimilhança para θ é θMV = . A esse respeito, três analistas, A, B e C, resolveram usar, respectivamente:
  • θ = 0,5 na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para θ ao nível de confiança 0,95; 
  •  na distribuição amostral, a fim construir um intervalo de confiança bilateral para θ ao nível de confiança 0,95; 
  • uma distribuição, a priori, uniforme no intervalo [0, 1] , a fim de construir um intervalo de credibilidade de 95% após observar a amostra.
A partir dessas informações, e considerando que para θ = 0,5:

P(S ≤ 1) = 0,011 P(S ≤ 2) = 0,055 P(S ≤ 7) = 0,945 e P(S ≤ 8) = 0,989 e para θ = 0,7 P(S > 7) = 0,83 ; e P(S > 8) = 0,149 , jugue o item a seguir.

Sob a hipótese nula θ = 0,5 contra a hipótese alternativa de  θ ≠ 0,5, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula será rejeitada se o intervalo de confiança do analista A não contiver 0,5.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: A proposta apresentada indica que devemos verificar a hipótese nula H0: θ = 0,5 em relação à hipótese alternativa H1: θ ≠ 0,5. Ao construir um intervalo de confiança para o parâmetro θ com nível de confiança de 95%, estamos, na prática, estabelecendo um nível de significância de 5%. Isso significa que temos apenas 5% de aceitar a possibilidade de errar ao rejeitar a hipótese nula.
O analista A utiliza θ = 0,5 em sua análise e, caso o intervalo de confiança não contemple este valor, é um indicativo forte, conforme a lógica estatística, de que a verdadeira proporção de sucesso θ é diferente de 0,5. Portanto, se o intervalo de confiança construído não abranger o valor de 0,5, será necessário rejeitar H0 ao nível de significância de 5%. É essencial entender que a rejeição da hipótese nula baseia-se na não inclusão do seu valor na área estimada pela amostra observada. Assim, a assertiva de que a hipótese nula é rejeitada se o intervalo não incluir 0,5 está, portanto, correta.

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