Questão FC99743
Uma amostra aleatória simples X1, X2, X3, X4 será retirada de uma população Bernoulli para testar a hipótese nula H0:p = 0,2 contra a hipótese alternativa H1:p = 0,4, em que p deno
Testes de Hipóteses
CEBRASPE (CESPE) · 2024
não será rejeitada se 
; e se 
, a hipótese nula será rejeitada com probabilidade \(\gamma\).Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
Se y = 0, o poder do teste será inferior a 20%.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos entender o raciocínio que leva à confirmação de que o poder do teste é inferior a 20%. O poder do teste (denotado como \(1 - \beta\)) representa a chance de rejeitar a hipótese nula \(H_0\) quando a hipótese alternativa \(H_1\) é verdadeira. No nosso caso, a hipótese nula é \(H_0: p = 0,2\) enquanto a alternativa \(H_1: p = 0,4\).
O somatório das variáveis \(Y = \sum_{j=1}^{4} X_j\) segue a distribuição binomial com parâmetros \(n = 4\) e \(p\) igual à probabilidade de sucesso. Segundo as regras do teste, \(H_0\) será rejeitada para \(Y \geq 3\) e em \(Y = 2\) com uma probabilidade \(\gamma\).
Se considerarmos que \(y = 0\) (ou seja, não ocorreram sucessos), temos apenas duas situações a explorar: se o número de sucessos é 3 ou 4 para que possamos rejeitar \(H_0\). Quando \(p = 0,4\), usando a função de probabilidade binomial, calculamos \(P(Y = 3)\) e \(P(Y = 4)\):
\(P(Y=3 | p=0,4) = \binom{4}{3}(0,4)^3(0,6)^1 = 0,1536\)
\(P(Y=4 | p=0,4) = \binom{4}{4}(0,4)^4(0,6)^0 = 0,0256\)
Assim, o poder do teste se torna a soma dessas probabilidades:
\(1 - \beta = P(Y \geq 3 | p = 0,4) = 0,1536 + 0,0256 = 0,1792\), o que é, de fato, inferior a 20%. Portanto, confirmamos que o poder do teste é abaixo do estabelecido, garantindo a veracidade da afirmação de que se \(y = 0\), o poder do teste será menor que 20%.
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