Questão FC99752
Suponha que determinada população de tamanho N = 100 seja constituída pelos elementos x1, ..., x100. Para a realização de um levantamento amostral sobre essa população, cogitam-se
Testes de Hipóteses
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Suponha que determinada população de tamanho N = 100 seja constituída pelos elementos x1, ..., x100. Para a realização de um levantamento amostral sobre essa população, cogitam-se duas possibilidades mostradas no quadro anterior, ambas pelo método de amostragem aleatória simples. Se o tipo I for o escolhido, então a amostragem será com reposição com n = 6. No entanto, se o escolhido for o tipo II, então a amostra será sem reposição com n = 5.
Com base nessas informações, julgue o item que se segue.
Suponha que X1, X2, X3, X4, X5 sejam variáveis aleatórias que representam a amostra a ser obtida pela amostragem do tipo II. Nesse caso, é correto afirmar que essas variáveis aleatórias são mutuamente independentes.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A afirmação foi julgada ERRADO porque a amostragem do tipo II é sem reposição. Nesse esquema, após selecionar \(X_1=x_i\) a população restante tem tamanho \(N-1\), logo as probabilidades para \(X_2\) mudam.
Especificamente, \(P(X_1=x_i)=1/N\), mas \(P(X_2=x_j\mid X_1=x_i)=\begin{cases}1/(N-1),&x_j\neq x_i,\\0,&x_j=x_i.\end{cases}\) Como \(P(X_2=x_j\mid X_1=x_i)\neq P(X_2=x_j)\) em geral, as variáveis não são independentes.
Portanto, \(X_1,\dots,X_5\) não são mutuamente independentes. O item só seria correto se a amostragem fosse com reposição, quando as probabilidades permanecem constantes e as observações se tornam independentes.
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