Questão FC99906
A sequência de variáveis aleatórias contínuas W1 ,W2 ,⋯,Wn representa uma amostra aleatória simples de tamanho retirada de uma população descrita por uma função de densidade na for
Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Considerando as informações precedentes, julgue o item a seguir, com relação às variáveis aleatórias
A variância de W̄ é inferior a
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A média amostral W̄ é uma ferramenta estatística poderosa, pois a partir dela podemos estimar características de uma população. A variância de W̄ é calculada utilizando a variância populacional σ², que está relacionada à variância da amostra através da fórmula:
\( Var[W̄] = \frac{σ²}{n} \)
onde \( n \) é o tamanho da amostra. Isso nos mostra que, quanto maior o tamanho da amostra, menor será a variância da média amostral, o que é um achado interessante e desejável em estatística.
Agora, para fundamentar nossa afirmação de que a variância de W̄ é inferior a \( \frac{1}{n} \), precisamos primeiramente determinar σ². A variância de uma variável contínua é dada pela expressão:
\( Var[W] = E[W²] - (E[W])² \).
Para calcular esta variância, partimos da função de densidade fornecida: \( f(w) = 504w^5(1-w)^3 \), aplicando integrais para obter \( E[W] \) e \( E[W²] \). Ao final dos cálculos, encontramos que \( Var[W] < 1 \). Assim, combinando as informações, temos que:
\( Var[W̄] = \frac{σ²}{n} < \frac{1}{n} \), confirmando que a asserção inicial está correta.
Portanto, a resposta para a questão é CERTA.
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