Questão FC99910
Uma amostra aleatória simples de tamanho n= 144 foi retirada de uma população normal com média desconhecida μ e desvio padrão igual a 12. Considerando que essa tal amostra seja rep
Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Considerando que essa tal amostra seja representada como X1,⋯,X144 e que X̄ denota a média amostral, julgue o item subsecutivo.
A variável Y = X̄ − μ μsegue a distribuição normal padrão.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a afirmação sobre a variável Y = \overline{X} - \mu e entender por que ela realmente segue a distribuição normal padrão. Primeiro, sabemos que a média amostral \overline{X} é uma média de uma amostra aleatória simples de uma população normal. Portanto, se a população é normal, \overline{X} também será normalmente distribuída.
Agora, vamos considerar o que acontece quando subtraímos a média populacional \mu de \overline{X}. O valor esperado de \overline{X} é exatamente \mu:
\( E[\overline{X}] = \mu \)
Assim, ao calcular o valor esperado de Y, temos:
\( E[Y] = E[\overline{X} - \mu] = E[\overline{X}] - \mu = \mu - \mu = 0 \).
Agora, vamos para a variância. A variância da média amostral \overline{X} é dada pela fórmula:
\( Var[\overline{X}] = \frac{\sigma^2}{n} \)
onde \sigma = 12 e n = 144. Assim, a variância é:
\( Var[\overline{X}] = \frac{12^2}{144} = \frac{144}{144} = 1 \).
Finalmente, como Y é uma variável aleatória com valor esperado igual a 0 e variância igual a 1, sabemos que Y tem a distribuição normal padrão, ou seja, Y \sim N(0, 1). Dessa forma, a afirmação é CORRETA.
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