Questão FC99916
Considerando as variáveis aleatórias nas quais X̄ representa a média amostral e S denota o desvio padrão amostral de uma amostra aleatória simples de tamanho igual a 100, a ser ret
Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
nas quais X̄ representa a média amostral e S denota o desvio padrão amostral de uma amostra aleatória simples de tamanho igual a 100, a ser retirada de uma população normal com média 10 e desvio padrão 10, julgue o próximo item.A variável W possui variância inferior a 0,5.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar a estrutura da variável aleatória \( W \), definida como \( W = \frac{\bar{X} - \mu}{S} \), onde \( \bar{X} \) é a média amostral, \( \mu \) é a média populacional, e \( S \) é o desvio padrão amostral. A análise principal se concentra em determinar a variância de \( W \).
Sabemos que, quando a amostra é suficientemente grande, e considerando que neste caso estamos lidando com uma amostra de tamanho \( n = 100 \), a média amostral \( \bar{X} \) e o desvio padrão amostral \( S \) se distribuem de acordo com a distribuição normal. Assim, podemos utilizar o conceito de variância da média amostral, que é dado por \( \text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \), com \( \sigma = 10 \) e \( n = 100 \).
Portanto, a variância da média amostral é \( \text{Var}(\bar{X}) = \frac{10^2}{100} = 1 \). Já a variância do desvio padrão amostral \( S \) tem sua própria distribuição, mas o crucial aqui é como \( W \) foi estruturado em função de \( S \). O uso de \( S \) no denominador significa que estamos standardizando uma variável, e a variância do ratio \( \frac{\bar{X} - \mu}{S} \) se reduz.
Ao aplicar as propriedades de variância a uma variável que segue a distribuição t de Student resulta em uma variância que pode ser calculada como \( \text{Var}(W) = \frac{n-1}{n(n-3)} \). Substituindo \( n = 100 \), temos:
\( \text{Var}(W) = \frac{99}{100 \times 97} \approx 0.01 \).
Este resultado final, \( 0.01 < 0.5 \), confirma que a variável \( W \) possui uma variância inferior a 0,5, justificando assim a resposta como CERTA.
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