Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 17 é retirada de uma distribuição normal com média μ e desvio padrão igual a 2. A variância amostral é representada por S2 e X̄ denota

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é ERRADA porque não vale que o valor esperado do desvio padrão amostral seja igual ao desvio padrão populacional. Aqui \(S=\sqrt{S^2}\) e, para a amostra considerada, tem-se \(E[S^2]=\sigma^2=4\).

Pela desigualdade de Jensen, a função raiz quadrada é concava, portanto \(E[\sqrt{S^2}]<\sqrt{E[S^2]}\) salvo no caso degenerado em que \(S\) é constante. Assim,

\(E[S]=E[\sqrt{S^2}]<\sqrt{E[S^2]}=\sqrt{4}=2\).

Além disso, \(S^2\) é aleatória (para \(n=17\), \((n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{16}\)), logo não há igualdade, e o esperado de \(S\) é estritamente menor que 2.