Questão FC99920
Considerando que X1, X2, X3, X4 represente uma amostra aleatória simples retirada de uma população normal padrão, julgue o item a seguir.
Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais
CEBRASPE (CESPE) · 2022
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão proposta. Considerando uma amostra simples X₁, X2, X3, X4 retirada de uma população normal padrão, sabemos que a média amostral \( \bar{X} \) é uma variável aleatória cuja expectativa e variância são dadas por:
E[\( \bar{X} \)] = 0 e Var[\( \bar{X} \)] = \(\frac{\sigma^2}{n} = \frac{1}{4}\). Portanto, podemos afirmar que \( \bar{X} \sim N(0, \frac{1}{4}) \).
Agora, levando em conta a expressão fornecida, observamos que a estatística \( \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \), onde \( \mu \) é a média da população (que é 0) e S é o desvio padrão amostral, segue uma distribuição t de Student com \( n-1 \) graus de liberdade (neste caso, 3).
Assim, temos: \( \frac{\bar{X}}{S} \sim t(3) \), e pela propriedade da variância da distribuição t, que é dada por \( \frac{v}{v-2} \) para v > 2, resulta em Var[\( \frac{\bar{X}}{S} \)] = \frac{3}{1} = 3
Quando aplicamos a fórmula da variância com os dados do problema, notamos que: Var[\( \frac{\bar{X}}{S} \)] \neq 1 \. Portanto, a assertiva em questão está ERRADA, justificando a resposta correta ao item!
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