Questão FC99921
Suponha que determinada população de tamanho N = 100 seja constituída pelos elementos x1, ..., x100. Para a realização de um levantamento amostral sobre essa população, cogitam-se
Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Suponha que determinada população de tamanho N = 100 seja constituída pelos elementos x1, ..., x100. Para a realização de um levantamento amostral sobre essa população, cogitam-se duas possibilidades mostradas no quadro anterior, ambas pelo método de amostragem aleatória simples. Se o tipo I for o escolhido, então a amostragem será com reposição com n = 6. No entanto, se o escolhido for o tipo II, então a amostra será sem reposição com n = 5.
Com base nessas informações, julgue o item que se segue.
Suponha que a variância populacional seja definida por
Nesse caso, se a média da amostra aleatória simples com reposição (tipo I) for representada por 
, então 
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entendermos a questão e a razão pela qual a resposta é ERRADA, precisamos explorar a diferença entre variância populacional e a variância amostral. Quando realizamos uma amostragem aleatória simples com reposição, a variância da média amostral é calculada pela fórmula:
\(< Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \)
onde \(\sigma^2\) é a variância populacional e \(n\) é o tamanho da amostra. No caso do tipo I, temos uma amostra de \(n = 6\), portanto, a variância da média amostral seria:
\(< Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{6} \)
No entanto, a questão usa \(\mathbf{S^2}\), que é a variância amostral definida como:
\(< S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \)
Isso implica que \(\mathbf{S^2}\) é uma estimativa da variância populacional, e não podemos simplesmente substituí-la na fórmula da variância da média amostral sem considerar as correções necessárias. Para utilizar a variância amostral, teríamos que fazer uma correção:
\(< Var(\bar{X}) = \frac{S^2}{n(n-1)} \)
Assim, a questão leva a um erro ao misturar \(\sigma^2\) e \(S^2\) indiscriminadamente, resultando em uma afirmação incorreta. Portanto, a conclusão de que a relação dada está correta é falsa.
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