Questão FC99938
Considerando as variáveis aleatórias nas quais X̄ representa a média amostral e denota o desvio padrão amostral de uma amostra aleatória simples de tamanho igual a 100, a ser retir
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2024
nas quais X̄ representa a média amostral e denota o desvio padrão amostral de uma amostra aleatória simples de tamanho igual a 100, a ser retirada de uma população normal com média 10 e desvio padrão 10, julgue o próximo item.O desvio padrão amostral é estimador não viciado para o desvio padrão populacional.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos desvendar a afirmativa que considera o desvio padrão amostral como um estimador não viciado do desvio padrão populacional. Essa afirmativa está INCORRETA!
Para compreender essa questão, precisamos lembrar que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. A variância amostral, representada como \( s^2 \), é um estimador não viciado da variância populacional \( \sigma^2 \), ou seja, temos que \( E(s^2) = \sigma^2 \).
No entanto, quando falamos sobre o desvio padrão, a situação muda. A relação não-linear entre o desvio padrão e a variância, estabelecida pela raiz quadrada, implica que o valor esperado do desvio padrão amostral \( \sqrt{s^2} \) será sempre menor que o verdadeiro desvio padrão populacional \( \sigma \).
Este fenômeno pode ser demonstrado através da desigualdade de Jensen, que nos diz que a função raiz quadrada é côncava. Portanto, temos que \( E(\sqrt{s^2}) < \sqrt{E(s^2)} = \sigma \).
Em resumo, o desvio padrão amostral é de fato um estimador viciado para o desvio padrão populacional, pois não pode fornecer uma estimativa precisa do parâmetro real que buscamos.
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