Questão FC99945
O quadro abaixo mostra a realização de uma amostra aleatória simples u1, u2, u3, u4, que foi retirada de uma distribuição uniforme contínua no intervalo [0, a]. Considerando que re
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2022
representa a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro a, julgue o item seguinte.A estimativa não viciada para o parâmetro a é dada pela expressão
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão com um foco na estimativa não viciada do parâmetro a em uma distribuição uniforme contínua no intervalo [0, a]. O principal estimador de máxima verossimilhança para a é o máximo da amostra, que podemos denotar como \( \hat{a} = X_{(n)} \), onde \( X_{(n)} \) é o maior valor observado. A questão propõe que a estimativa não viciada para a é dada pela fórmula \( 1,25 \hat{a} \). Para confirmar isso, precisamos verificar se o valor esperado dessa expressão nos dá a. Portanto, calculamos \( E[1,25 \hat{a}] \). Como \( E[cX] = cE[X] \) para qualquer constante \( c \), temos:
\( E[1,25 \hat{a}] = 1,25 E[\hat{a}] \).
Agora, precisamos encontrar \( E[\hat{a}] \). Dado que \( \hat{a} \) é o máximo de \( n \) variáveis aleatórias uniformemente distribuídas, sabemos que o valor esperado do máximo para uma amostra de tamanho \( n \) em uma distribuição uniforme no intervalo [0, a] é \( \frac{n}{n+1} a \). Com \( n=4 \):
\( E[\hat{a}] = \frac{4}{5} a \).
Substituindo na expectativa anterior, obtemos:
\( E[1,25 \hat{a}] = 1,25 \cdot \frac{4}{5} a = a \).
Como o valor esperado coincide exatamente com o parâmetro a, concluímos que a fórmula dada é de fato uma estimativa não viciada. Assim, a afirmação é correta!
Por isso, a resposta correta é CERTO.
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