Questão FC99946
Considere uma população formada pelos elementos x1, ..., xN, cuja média populacional é representada por A amostra aleatória de tamanho simples n retirada dessa população é denotada
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2022
A amostra aleatória de tamanho simples n retirada dessa população é denotada por X1, ..., XN (com 1 < n < N), tal que a média amostral seja definida por 
em que {a1, ..., aN} forma uma sequência de variáveis aleatórias tais que ai ~ Bernoulli
Considerando essas informações, julgue o próximo item.
é um estimador não viciado da média populacional μ.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar por que a afirmativa de que \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\) é um estimador não viciado da média populacional μ é correta. Um estimador é considerado não viciado quando o seu valor esperado é igual ao verdadeiro parâmetro que se quer estimar, ou seja, E(θ^)=θ. Portanto, precisamos calcular E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right).
Substituindo a média amostral, temos:
E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right). De acordo com nosso conhecimento sobre variáveis aleatórias, a soma do esperado é a soma dos esperados.
Assim, podemos escrever E\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i). Os elementos \(X_i\) estão relacionados com as variáveis aleatórias \(\{a_1, \ldots, a_N\}\), que seguem a distribuição de Bernoulli, onde cada \(a_i\) tem a probabilidade \(\frac{n}{N}\) de ser 1 quando uma amostra é selecionada. Portanto, E(a_i) = \frac{n}{N} e E(X_i) = \mu \cdot E(a_i) = \mu \cdot \frac{n}{N}. Substituindo na soma obtida, obtemos:
\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i\). Dividindo pelo tamanho da população, encontramos que:
\(\frac{1}{n} \cdot \frac{n}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} = \mu\).
Portanto, E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = μ\, o que confirma que o estimador mencionado é realmente não viciado. Isso nos leva à resposta correta: CERTO.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em