Os valores 2, 3, 1, 0, 2 constituem uma amostra aleatória simples de tamanho 5 retirada de uma distribuição discreta W, na qual P(W = w) = p(1−p)w, com w ∈ {0,1,2,⋯} sendo p um par

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é ERRADO porque a pmf dada é a de uma distribuição geométrica (contando falhas antes do primeiro sucesso). Para essa família, o estimador de máxima verossimilhança (MLE) do parâmetro é \(\hat p=\dfrac{1}{\bar x+1}\), com \(\bar x\) a média amostral.

A variância verdadeira é \(\sigma^2=\dfrac{1-p}{p^2}\). O MLE da variância obtém‑se por substituição do parâmetro, resultando em \(\hat\sigma^2=\dfrac{1-\hat p}{\hat p^2}=\bar x(\bar x+1)\).

Com a amostra 2,3,1,0,2 temos \(\bar x=1{,}6\), \(\hat p\approx0{,}3846\) e \(\hat\sigma^2=1{,}6\cdot2{,}6=4{,}16\). A variância amostral (dividindo por n) é \(5{,}2/5=1{,}04\) ou, com n−1, \(1{,}3\), valores distintos de 4{,}16.

Logo, o MLE da variância não coincide com a variância amostral, pois é uma função do estimador de \(p\), e não o cálculo direto das discrepâncias amostrais.