Questão FC99974
Suponha que o conjunto de dados mostrados no quadro acima seja uma realização de uma amostra aleatória simples de tamanho n = 5 que foi retirada de uma população cuja função de den
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Suponha que o conjunto de dados mostrados no quadro acima seja uma realização de uma amostra aleatória simples de tamanho n = 5 que foi retirada de uma população cuja função de densidade de probabilidade é dada por
na qual x ∈ R e θ > 0 e μ ∈ R são parâmetros desconhecidos.
Com base nessas informações, julgue o item subsequente.
A estimativa de máxima verossimilhança do desvio padrão populacional é igual a
em que 
representa a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro θ.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos entender por que a afirmação é ERRADA. O primeiro passo é reconhecer que a população em questão possui uma função de densidade que caracteriza a distribuição de Laplace, a qual pode ser expressa como:
\( f(x) = \frac{\theta}{2} e^{-\theta |x - \mu|} \),
onde \( \theta > 0 \) e \( \mu \) representam, respectivamente, a taxa de decaimento e a localização. Um aspecto crucial dessa distribuição é que a sua variância é dada por \( 2b^2 \), onde \( b = \frac{1}{\theta} \). Portanto, a variância se torna:
\( 2 \left(\frac{1}{\theta}\right)^2 = \frac{2}{\theta^2} \). Consequentemente, ao calcular o desvio padrão \( \sigma \), temos:
\( \sigma = \sqrt{\text{variância}} = \sqrt{\frac{2}{\theta^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\theta} \). Assim, se \( \hat{\theta} \) é a estimativa de máxima verossimilhança para \( \theta \), a estimativa de máxima verossimilhança para o desvio padrão populacional resulta em:
\( \sigma \approx \frac{\sqrt{2}}{\hat{\theta}} \),
e não \( \frac{1}{\hat{\theta}} \) como afirmado. Essa diferença fundamental explica por que a estimativa de desvio padrão apresentada no item não corresponde à realidade. Portanto, a resposta está confirmada como ERRADA.
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