Questão FC99980
Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme X1 ∼ Uniforme [0,θ] no intervalo [0,θ], em que para 0 ≤ x ≤ θ e f(x)
Característica dos Estimadores
para 0 ≤ x ≤ θ e f(x) = 0, caso contrário. Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população, sendo X(i) a i-ésima estatística de ordem da amostra.Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.
O estimador do método de momentos para θ é duas vezes a média amostral. Esse estimador é não viesado e não é consistente.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a afirmação dada na questão. O primeiro ponto a considerar é que o estimador do método dos momentos é construído igualando o momento amostral ao momento populacional. Para uma variável X que segue uma distribuição uniforme no intervalo [0, θ], sabemos que o valor esperado deste parâmetro, ou momento populacional, é dado por \( E[X] = \frac{θ}{2} \).
Agora, a média amostral, que representamos como \( \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} \), deve ser igualada ao momento populacional: \( \bar{X} = \frac{θ}{2} \). Portanto, ao rearranjar essa equação, encontramos que o estimador dos momentos para θ é \( \hat{θ}_{MM} = 2\bar{X} \).
Além disso, precisamos verificar se este estimador é não viesado. O cálculo do valor esperado de \( \hat{θ}_{MM} \) nos mostra que: \( E[\hat{θ}_{MM}] = E[2\bar{X}] = 2E[\bar{X}] = 2 \cdot \frac{θ}{2} = θ \). Assim, como o valor esperado do estimador é igual ao parâmetro que estamos estimando, concluímos que ele é não viesado.
Por fim, para checar a consistência, examinamos a variância do estimador. A variância da média amostral é dada por \( \text{Var}(\bar{X}) = \frac{\text{Var}(X)}{n} \). Para a distribuição uniforme, sabemos que \( \text{Var}(X) = \frac{θ^2}{12} \), então \( \text{Var}(\bar{X}) = \frac{θ^2}{12n} \) e, consequentemente, \( \text{Var}(\hat{θ}_{MM}) = \text{Var}(2\bar{X}) = 4 \cdot \text{Var}(\bar{X}) = \frac{θ^2}{3n} \). Com o aumento da amostra (n tendendo ao infinito), essa variância decai para zero, o que confirma que o estimador é consistente.
Assim, a afirmativa de que o estimador é não viesado e não consistente é, portanto, ERRADA.
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