Questão FC99983
Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme X1 ∼ Uniforme [0,θ] no intervalo [0,θ], em que para 0 ≤ x ≤ θ e f(x)
Característica dos Estimadores
para 0 ≤ x ≤ θ e f(x) = 0, caso contrário. Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população, sendo X(i) a i-ésima estatística de ordem da amostra.Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.
X(n) é o estimador de máxima verossimilhança para θ. Esse estimador é viesado e não é consistente.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a afirmação apresentada em partes para entender por que a resposta correta é ERRADO.
Primeiro, é importante reconhecer que o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro θ em uma distribuição uniforme no intervalo [0,θ] corresponde à maior observação da amostra, representada como X(n). Assim, essa parte da afirmação está correta em identificar X(n) como o MLE de θ.
No entanto, quando falamos sobre viés, X(n) é realmente um estimador viesado, pois sempre X(n) será menor que θ com probabilidade igual a 1, indicando que o valor esperado \(E[X_{(n)}] < \theta\). Portanto, X(n) não é igual a θ, o que confirma que é viesado.
Por outro lado, a questão da consistência é crucial. Um estimador é considerado consistente se, à medida que coletamos mais dados (ou seja, com o aumento de n), seu valor esperado converge para o verdadeiro valor do parâmetro θ. No caso de X(n), embora ele seja viesado, a expectativa do estimador tende a se aproximar de θ conforme o tamanho da amostra aumenta. Matematicamente, podemos expressar isso como
\[E[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1} \cdot \theta.\]
À medida que n aumenta, a fração \(\frac{n}{n+1}\) converge para 1, levando o valor esperado a se aproximar de θ. Portanto, mesmo sendo viesado, X(n) é um estimador consistente.
Por todas essas considerações, a assertiva de que X(n) é viesado e não consistente é, portanto, enganosa e errada, pois falha ao reconhecer a propriedade de consistência deste estimador.
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