Questão FC99987
Julgue o item a seguir, considerando que Tn= T(X1,⋯,Xn) seja um estimador viciado para o parâmetro desconhecido τ de uma população X, no qual X1, …, Xn representa uma amostra aleat
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Supondo que Tn seja o estimador de máxima verossimilhança de τ, que a população pertença à família exponencial e que o tamanho da amostra n seja suficientemente grande, então a quantidade pivotal
segue aproximadamente a distribuição normal padrão.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a situação apresentada na questão com cuidado. O estimador Tn, mesmo sendo viciado, se proveniente de uma amostra de uma população que pertence à família exponencial, possui algumas propriedades assintóticas notáveis. Primeiramente, quando dizemos que Tn é um estimador de máxima verossimilhança, isso implica que, para grandes n, ele se aproxima do parâmetro real τ com um erro que diminui com o aumento da amostra. De fato, a característica de ser assintoticamente não viciado indica que, embora o valor esperado de Tn possa não ser exatamente τ para amostras pequenas, em limites maiores, ele converge para o verdadeiro valor do parâmetro. Além disso, quando falamos da variância D2 = Var[Tn}, sabemos que em grandes amostras, Tn tende a seguir uma distribuição normal, especificamente Tn ∼ N(τ, D2). Assim, ao manipulá-lo na forma da quantidade pivotal:
\( Z = \frac{T_n - τ}{D} \),
observamos que ao subtrair τ e dividir pela variância, obtemos uma distribuição normal padrão, ou seja, Z ∼ N(0, 1). Portanto, a afirmação da questão está absolutamente correta: essa quantidade pivotal converge para a distribuição normal padrão à medida que o tamanho da amostra n cresce, justificando a resposta como CERTO.
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