Questão FC99989
Uma população de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segue a distribuição uniforme X1 ∼ Uniforme [0,θ] no intervalo [0,θ], em que para 0 ≤ x ≤ θ e f(x)
Característica dos Estimadores
para 0 ≤ x ≤ θ e f(x) = 0, caso contrário. Uma amostra de tamanho n será retirada dessa população, sendo X(i) a i-ésima estatística de ordem da amostra.Tendo como referência essas informações, julgue o item o seguir.
T(X1,⋯,Xn) = X(n) não é uma estatística suficiente para θ.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que T(X1,⋯,Xn) = X(n) não é uma estatística suficiente para o parâmetro θ é, na verdade, ERRADA. Para entendermos esse conceito, precisamos abordar como a fatorização de Fisher-Neyman nos ajuda a identificar estatísticas suficientes. Segundo essa teoria, uma estatística \( T \) é considerada suficiente para um parâmetro populacional se a função de verossimilhança pode ser decomposta em um produto onde uma parte depende apenas dos dados e a outra do parâmetro por meio de \( T \).
No caso de variáveis aleatórias \( X_i \) que seguem uma distribuição Uniforme em \( [0,θ] \), a função de densidade conjunta se expressa como \( f(X_1, X_2, \ldots, X_n | θ) = \frac{1}{θ^n} I_{(X_{(n)} \leq θ)} \), onde \( I \) é a função indicadora. Esta expressão pode ser reescrita como:
\( f(x; θ) = h(x)g(θ, X_{(n)}) \), com \( h(x) = 1 \), que não depende do parâmetro e \( g(θ, X_{(n)}) = \frac{1}{θ^n} I_{(X_{(n)} \leq θ)} \), que sim depende.
Assim, ao atender o critério da fatorização, fica claro que \( X_{(n)} \) contém toda a informação necessária para estimar \( θ \), tornando a afirmação inicial incorreta. Portanto, a estatística \( X_{(n)} \) é suficiente para \( θ \).
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