Questão FC99992
Suponha que uma amostra de tamanho n = 1 seja retirada de uma população X ∼ Binomial (m,p), em que m e p são parâmetros desconhecidos. Sabendo que m ∈ {1,2} e que se a amostra alea
Característica dos Estimadores
CEBRASPE (CESPE) · 2022
se a amostra aleatória simples for representada por X1, considere a seguinte estatística para a estimação do par (m,p).
τ(X1) é uma estatística suficiente para a estimação do par de parâmetros (m,p).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a afirmação de que τ(X1) é uma estatística suficiente para a estimativa do par de parâmetros (m,p) está correta, devemos considerar o conceito fundamental de suficiência. Uma estatística é considerada suficiente se a distribuição da amostra, dado o valor dessa estatística, não depende dos parâmetros estimados. No nosso caso, temos uma população modelada por X ∼ Binomial(m, p), onde m é um dos dois valores possíveis {1, 2}. A fórmula da estatística τ dada reflete as informações coletadas com relação a esses dois parâmetros durante a amostragem.
Ao observarmos a amostra X1, que pode assumir valores de sucessos (0, 1 ou 2), conseguimos segmentar a distribuição de probabilidades conforme as diferentes combinações possíveis de m e p. Quando condicionamos a distribuição de X sobre τ, verificamos que não há dependência dos parâmetros, uma vez que a informação relevante já é encapsulada em τ.
Portanto, quaisquer amostras que possuam a mesma estatística τ resultam em distribuições de amostra que não diferem em relação a m e p, validando a condição de suficiência. Logo, podemos afirmar que a estatística τ(X1) é, de fato, suficiente para os parâmetros (m, p).
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