No modelo ARMA(1,1), ou seja, \(y_t\) = 10 + 0,2 \(y_{t-1}\) + \(ε_t\) + 0,8 \(ε_{t − 1}\), em que \(ε_t\) é um ruído branco de média nula e variância unitária, obtém-se que a vari

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Partimos do modelo \(y_t=10+0,2y_{t-1}+\varepsilon_t+0,8\varepsilon_{t-1}\) com \(\varepsilon_t\) ruído branco, \(E[\varepsilon_t]=0\) e \(Var(\varepsilon_t)=1\). Assumindo estacionaridade, \(Var(y_t)=Var(y_{t-1})=\)\(\sigma^2\).

Aplicando a propriedade \(Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2ab\,Cov(X,Y)\):
\( \sigma^2=0{,}2^2\sigma^2+Var(\varepsilon_t)+0{,}8^2Var(\varepsilon_{t-1})+2\cdot0{,}2\cdot0{,}8\,Cov(y_{t-1},\varepsilon_{t-1}).\)

Observações: \(Cov(y_{t-1},\varepsilon_t)=0\) e \(Cov(\varepsilon_{t-1},\varepsilon_t)=0\). Como \(y_{t-1}\) contém \(\varepsilon_{t-1}\) com coeficiente 1, \(Cov(y_{t-1},\varepsilon_{t-1})=Var(\varepsilon_{t-1})=1\).

Substituindo \(Var(\varepsilon)=1\) e \(Cov=1\):
\(\sigma^2=0{,}04\sigma^2+1+0{,}64+0{,}32=0{,}04\sigma^2+1{,}96.\)

Isolando \(\sigma^2\): \(0{,}96\sigma^2=1{,}96\Rightarrow \sigma^2=\dfrac{1{,}96}{0{,}96}=\dfrac{196}{96}=\dfrac{49}{24}.\)